Велко Кънев е роден в Елхово през 1948 г. Завършва актьорско майсторство във ВИТИЗ през 1973 г. в класа на доц. Апостол Карамитев. От 1973 до 1976 г. играе в Драматичен театър „Стефан Киров“ Сливен, след което играе в Сатиричен театър „Алеко Константинов“ в продължение на три сезона (1976 – 1979). От 1979 г. е член на трупата на Народен театър „Иван Вазов“.
Велко Кънев е изиграл над 40 роли в театъра. За ролята си на Кръстьо Никифоров от пиесата „Великденско вино“ на Константин Илиев получава „Аскеер“ за водеща мъжка роля през 1994 г. През 2007 г. за „Даскал“ от Жан-Пиер Допан печели втора награда на Международния фестивал на моноспектаклите „Монокъл“ в Санкт Петербург. През 2008 е поканен в комедийното телевизионно предаване Царете на комедията. На 2 октомври същата година е удостоен с орден „Св. св. Кирил и Методий“ първа степен, за заслуги в областта на културата и изкуството. На същата дата Велко Кънев отпразнува своята 60-годишнина на сцената на Народния театър с премиерата на моноспектакъла „Дванадесет разгневени монолога“. От 2010 г. е „Почетен гражданин на Сливен“.
Стената на славата пред Театър 199 – пано с отпечатъци, послание и шарж на Велко Кънев.
На Стената на славата пред Театър 199 има пано с отпечатъците му.
Участва с главни роли във филмите „Оркестър без име“, „Бой последен“, „Матриархат“, „Мъжки времена“, „Бон шанс, инспекторе!“, „Да обичаш на инат“ и др. Особено популярен става в специално написания за него и останалите главни герои филм на Станислав Стратиев „Оркестър без име“.
Заедно с Георги Мамалев и Павел Поппандов създават и групата НЛО, която е един от изразителните сатирици на социализма. Издават няколко плочи, които се ползват с голям успех. Проектът им по-късно прераства в телевизионното предаване клуб НЛО.
Член на Съюза на артистите в България и на Съюза на българските филмови дейци.
Има две дъщери с имената Катерина и Марта от съпругата му Дора Кънева.
Умира на 11 декември 2011 година в София, на 63-годишна възраст, след тежко и продължително боледуване.
